Sifat Prinsip Induksi Matematika

Hallo temen-temen???

Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung blog gue :). Slamat datang di blog paling bermanfaat sedunia.

Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin blog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D

Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)

Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....

Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.

Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Sifat Prinsip Induksi Matematika, Tanpa panjang lebar lagi yo check it out !

Sifat Prinsip Induksi Matematika

Berdasarkan sifat (e) aksioma peano, kita dapat membuktikan pernyataan yang berlaku bagi setiap bilangan asli.

1. Sifat prinsip induksi matematika pertama

Misalkan {P(n) : n ∈ N} kumpulan pernyataan dengan setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan.

Jika P(1) benar, dan
Jika P(k) benar mengakibatkan bahwa P(k + 1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.

Contoh :

Buktikan bahwa 1² + 2² + ...+ n² = (n(2n + 1)(n + 1))/6 , benar untuk n = 1, 2, .....

Jawaban :

Kita lakukan dua langkah pembuktian, yaitu :

a. Pertama, kita uji untuk n = 1

Ruas kiri sama dengan 1² = 1 dan ruas kanan

(1(2 . 1 + 1)(1 + 1))/6 = (1 . 2. 3)/6 = 1

Jadi pernyataan benar untuk n = 1.

b. Langkah kedua, asumsikan bahwa pernyataan benar untuk n = k yaitu :

1² + 2² + ...+ k² = (k(2k + 1)(k + 1))/6 (1)

Sekarang kita buktikan persamaan benar untuk n = k + 1, yaitu :

1² + 2² + ...+ k² + (k + 1) = ((k + 1)(2(k + 1) + 1)((k + 1) + 1))/6

1² + 2² + ...+ k² + (k + 1) = ((k + 1)(2k + 3)((k + 2))/6 (2)

Mulai dengan persamaan (1), kita tambah (k + 1)² pada kedua ruas, maka :

1² + 2² + ...+ k² + (k + 1)²= ((k(2k + 1)(k + 1))/6) + (k + 1)²

1² + 2² + ...+ k² + (k + 1)²= (k + 1)[((k(2k + 1))/6) + (k + 1)]

1² + 2² + ...+ k² + (k + 1)²= (k + 1)[((2k² + k + 6k + 6))/6)]

1² + 2² + ...+ k² + (k + 1)²= (k + 1)/6[2k² + 7k + 6]

1² + 2² + ...+ k² + (k + 1)²= (k + 1)/6[(((2k² + 4)(2k + 3))/2)]

1² + 2² + ...+ k² + (k + 1)²= ((k + 1)(k + 2)(2k + 3))/6

Bentuk terakhir telah sesuai dengan yang diminta pada persamaan (2). Dengan demikian kita telah membuktikan pernyataan di atas benar untuk setiap n.

2. Sifat prinsip induksi matematika kedua

Misalkan {P(n) : n ∈ N} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(1) benar, dan jika P(m) benar untuk setiap m < k mengakibatkan bahwa P(k + 1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.

Contoh :

Buktikan bahwa (2 + √3)ⁿ + (2 - √3)ⁿ selalu merupakan bilangan bulat untuk n ∈ N !!!

Jawaban :

a. Untuk n = 1, maka :

(2 + √3)¹ + (2 - √3)¹= 4

Merupakan bilanga bulat, jadi pernyataan benar untuk n = 1.

b.Jika k bilangan asli, asumsikan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan asli m < k, artinya :

bahwa (2 + √3)^k+1 + (2 - √3)^k+1= 4 juga bilangan bulat. Tetapi :

a^k+1 + b^k+1= (a^k + b^k)(a + b) - ab^k - ba^k

a^k+1 + b^k+1= (a^k + b^k)(a + b) - ab(a^k-1 + b^k-1 )

dengan a = 2 + √3 dan b = 2 - √3. Kita dapat menguji langsung bahwa ab bilangan bulat. Berdasarkan asusmsi bahwa a^k+1 + b^k+1, a^k-1 + b^k-1 , a + b bilangan bulat, a^k+1 + b^k+1 maka juga bilangan bulat. Berdasarkan prinsip induksi matematika, kita telah membuktikan pernyataan yang diminta.

3. Sifat modifikasi prinsip induksi matematika pertama

Misalkan {P(n) : n ∈ N} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(a) benar untuk suatu bilangan asli a, dan jika P(k) benar mengakibatkan bahwa P(k + 1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n > a.

Contoh :

Jika R = (2 + √3)ⁿ dan f merupakan bagian pecahannya, buktikan bahwa R(1 - f) = 1 !!!

Jawaban :

Berdasarkan contoh pada sifat prinsip induksi matematika kedua kita tahu bahwa (2 + √3)ⁿ + (2 - √3)ⁿ merupakan bilangan bulat. Dengan cara induksi, kita dapat membuktikan bahwa :

0 < (2 - √3)ⁿ <1

Untuk setiap n. Jadi, jika f bagian pecahan dari (2 + √3)ⁿ, maka :

1 - f = (2 - √3)ⁿ

Jadi :

R(1 - f) = (2 + √3)ⁿ (2 - √3)ⁿ

R(1 - f) = (4 - 3)ⁿ

R(1 - f) = 1

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Saya sarankan juga untuk baca artikel di bawah ini :