Prinsip Inklusi dan Eksklusi

Hallo temen-temen???

Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung blog gue :). Slamat datang di blog paling bermanfaat sedunia.

Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin blog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D

Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)

Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....

Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.

Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Prinsip Inklusi dan Eksklusi, Tanpa panjang lebar lagi yo check it out !

Prinsip Inklusi dan Eksklusi

Prinsip Inklusi dan eksklusi yang paling sederhana tampak pada saat kita mempelajari prinsip menambah kardinalitas dari dua himpunan. Jika diketahui dua himpunan A dan B, maka banyaknya anggota dari himpunan A ∪ B adalah :

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - ?

dengan n(A), n(B) masing-masing menyatakan banyaknya anggota di A dan B. Pada tahap ini kita memasukan semua anggota (inklusi) dan telah terjadi perhitungan dua kali pada anggota A ∩ B. Sekarang kita akan membuang hal ini (eksklusi) dengan mengurangi di ruas kanan. Rumus yang tepat untuk ini adalah :

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

Sekarang untuk tiga himpunan A, B, C. Dengan cara yang sama, diperoleh :

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - ....

ada banyak anggota yang kita hitung dua kali, yaitu A ∩ B, B ∩ C, C ∩ A. Oleh karena itu :

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)

n(A ∪ B ∪ C) = -n(A ∩ B) - n(A ∩ B) - n(C ∩ A) + .....

Pada proses ini ada pengurangan sebanyak tiga kali untuk anggota di A ∩ B ∩ C. Secara keseluruhan, anggota di A ∩ B ∩ C telah dihitung tiga kali di n(A), n(B), n(C), kemudian diambil tiga kali, yaitu di n( A∩ B), n(B ∩ C), n(C ∩ A). Oleh karena itu perlu ditambah sekali. Jadi rumus yang tepat adalah :

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)
n(A ∪ B ∪ C) = -n(A ∩ B) - n(A ∩ B) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

Untuk kegunaan menghitung, seringkali kita perlu menghitung jumlah anggota komplemen dari suatu himpunan. Jika A suatu subhimpunan dari S, maka :

A = {x ∈ S | x ∉ A }

disebut komplemen A. Mudah diterima bahwa :

n(S) = n(A) + n(A) atau n(A) = n(S) - n(A)

Karena :

A ∪ B = A ∩ B

Maka :

n(A ∩ B) = n(S) - n(A ∪ B)
n(A ∩ B) = n(S) - n(A) - n(B) + n(A ∩ B)

Contoh soal :

Carilah banyaknya bilangan antara 1 dan 1000, yang tidak habis dibagi 5, 6, dan 8!!

Jawab :
Kita tulis S = {1, 2, ...., 1000} dan
A₁ = { x ∈ S | x habis dibagi 5 }
A₂ = { x ∈ S | x habis dibagi 6 }
A₃ = { x ∈ S | x habis dibagi 8 }

Kita ingin menghitung nilai n( A₁ ∩ A₂ ∩ A₃).
Kita mengetahui Bahwa :
n(A₁) = [1000/5] = 200
n(A₂) = [1000/6] = 166
n(A₃) = [1000/8] = 125

dengan [x] mempunyai arti sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x.
Sedangkan, A₁ ∩ A₂ terdiri dari semua bilangan yang habis dibagi 5 dan 6. Karena PBT (5, 6) = 1, maka A₁ ∩ A₂terdiri dari semua bilangan yang habis dibagi 30 = KPK (5, 6) dan
n(A₁ ∩ A₂) = [1000/30] = 33

Sejalan dengan di atas :
n(A₁ ∩ A₃) = [1000/40] = 25
n(A₂ ∩ A₃) = [1000/24] = 41

Serupa dengan di atas, bahwa KPK (5, 6, 8) = 120, maka :
n(A₁ ∩ A₂∩ A₃) = [1000/120] = 8

Oleh karena itu :
n(A₁ ∩ A₂∩ A₃) = n(S) - n(A₁ ∪ A₂∪ A₃)
n(A₁ ∩ A₂∩ A₃) = 1000 - 200 - 166 - 125 + 33 + 25 + 41 - 8
n(A₁ ∩ A₂∩ A₃) = 600

Jadi banyaknya bilangan antara 1 dan 1000, yang tidak habis dibagi oleh 5, 6, dan 8 adalah 600 bilangan.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Akhir kata wassalamualikum wr. wb.
Sayarankan juga untuk membaca artikel :