Arti Kalkulus

Kalkulus berkenaan dengan analisa matematis mengenai perubahan atau gerakan. Oleh karena hampir semua yang ada di dunia ini mengalami perubahan, maka kalkulus digunakan dalam berbagai penyelidikan ilmiah. Sebagai suatu dasar analisis matematis, tidak mungkin kita mengabaikan pentingnya kalkulus khususnya deferensial kalkulus.

sir Issac newton dan gotfried leibnitz

Kalkulus dikembangkan oleh sir Issac newton dan gotfried leibnitz secara terpisah pada abad ke 17. Bagi newton, mula-mula kalkulus dikembangkan dalam usaha memecahkan persoalan tertentu yang berhubungan dengan pekerjaannya dalam ilmu alam (fisika) dan astronomi (ilmu perbintangan) antara lain di dalam menemukan percepatan suatu benda yang bergerak, hasil suatu gaya, pusat massa suatu benda, sedangkan bagi leibnitz, mula-mula kalkulus dikembangkan dalam usaha memecahkan persoalan tertentu dalam geometri antara lain menemukan tangen suatu kurve, panjang dari bagian suatu kurve, panjang dari bagian suatu kurve, luas daerah yang dibatasi oleh kurve, volume suatu benda padat.

Dasar dari operasi kalkulus ialah diferensiasi dan integrasi, operasi ini merupakan kebalikan (inverse) satu sama lain, seperti halnya penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian. Diferensiasi berkenaan dengan penentuan tingkat perubahan (rate of change) dan suatu fungsi, sedangkan integrasi sebaliknya untuk menentukan suatu fungsi kalau tingkat perubahannya diketahui.

Analogi suatu film dari objek yang bergerak seringkali dipergunakan untuk membahas proses diferensiasi dan integrasi. Suatu film tentang objek yang bergerak merupakan suatu urutan atau seri dari suatu gambar yang statis, setiap gambar akan berbeda sedikit dengan lainnya, setiap kerangka (frame) melukiskan subjek di dalam posisi tertentu pada saat waktu tertentu. Ketika film diputar dengan menggunakan proyektor pada kecepatan yang tepat, gambar akan digabungkan dan ilusi suatu gerakan tercipta. Seperti halnya dengan suatu film dengan gambar yang bergerak, pada dasarnya diferensiasi memecah atau menguraikan suatu fungsi menjadi bagian-bagian atau potongan-potongan yang sangat kecil dan menganalisanya pada suatu waktu tertentu atau untuk suatu nilai tertentu variabel bebas; integrasi sebaiknya menggabungkan atau menjumlahkan potongan-potongan yang sangat kecil itu untuk memperoleh suatu fungsi. Secara ringkas dapat dikatakan diferensiasi suatu usaha memecah atau mengurai, sedangkan integrasi suatu usaha menggabungkan atau menjumlahkan.

Apabila hubungan antara variabel dinyatakan dalam suatu persamaan, kalkulus dapat dipergunakan untuk menganalisa hubungan-hubungan ini. Kalkulus telah dipergunakan oleh ahli fisika (Ilmu alam), ahli astronomi (ahli perbintangan), ahli kimia, dan kerekayasaan sejak dikembangkannya dan akhirnya juga dipergunakan oleh para ahli biologi, sosiologim psikologi, dan ekonomi.

Oleh karena itu analisi dalam bisnis dan ekonomi seringkali berkenaan dengan perubahan, maka jelas bahwa kalkulus merupakan alat yang sangat bermanfaat untuk memecahkan persoalan-persoalan yang menyangkut perubahan, khususnya mengenai pertumbuhan.

Analisa marjinal, merupakan penerapan kalkulus yang paling langsung di dalam bisnis dan ekonomi antara lain rata-rata tingkat perubahan marjinal pada marjin dinyatakan secara analitis sebagai turunan pertama (firsderivative) dari fungsi yang bersangkutan. Marjin (= Margin) artinya batas atau tepi atau pinggiran. Profit marjin artinya keuntungan yang sangat tipis.

Diferensial kalkulus juga merupakan metode untuk manentukan maximum atau minimum suatu fungsi diperoleh. Jadi dengan demikian persoalan untuk memaksimumkan keuntungan (maximum profit) atau meminimumkan biaya (minimum cost) berdasarkan berbagai asumsi dapat dipecahkan dengan menggunakan kalkulus. Programma matematis yang berkenaan dengan memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi dalam keadaan pembatasan (kendala) penggunaannya sangat meningkat di dalam bisnis dan ekonomi; metode yang dipergunakan di dalam programma matematis didasarkan atas deferensial kalkulus.

Hubungan fungsional yang paling sederhana antara dua variabel x dan y ialah hubungan yang diwakili oleh suatu garis lurus dan berhubungan dengan suatu tingkat perubahan pada variabel tak bebas y karena adanya perubahan variabel bebas x, yang konstan atau seragam dalam variabel tak bebas y karena adanya perubahan variabel bebas x diwakili oleh suatu fungsi yang bukan linier (non linear or curvilinier)

Rata-rata tingkat perubahan variabel adalah nilai rata-rata meliputi suatu interval nilai tingkat perubahan variabel. Kebanyakan analisa bisnis dan ekonomi konsep yang paling penting adalah tingkat perubahan seketika/sesaat. Yaitu tingkat perubahan variabel pada suatu saat tertentu atau untuk nilai tertentu dari variabel bebas. Tingkat perubahan seketika diperoleh dengan melakukan diferensial dan merupakan turunan pertama dari suatu fungsi yang dinilai pada suatu titik tertentu. Konsep tingkat perubahan seketika merupakan dasar analisis marjinal dalam ekonomi. Seperti kita ketahui analisa marjinal berkanaan dengan pengaruh pada variabel tak bebas y akibat dari perubahan yang kecil terjadi pada variabel bebas x yang diketahui berhubungan dengan y.

Definisi matematis dan derivasi mengenai tingkat perubahan seketika atau sering disebut tingkat perubahan marjinal, konsep ini akan mudah dimengerti secara intuitif dengan menggunakan contoh gerakan fisik. Kalau sebuah mobil menempuh suatu jarak dari kota A ke kota B dengan kecepatan yang tetap kemudian tingkat perubahan dalam jaraknya dari kota A ke B. Jika konstan dengan memperhatikan perubahan yang terjadi dalam waktu sejak meningkalkan kota A; mobil tersebut menempuh jarak dari A ke B pada tingkat perubahan yang konstan atau seragam. Akan tetapi di dalam prakteknya tidak mungkin sebuah mobil menempuh suatu jarak dengan kecepatan yang sama secara terus menerus sebab ada tikungan, tanjakan, lampu lalu lintas, kemacetan dan alasan lainnya yang menyebakan kadang-kadang mobil bisa cepat dan kadang-kadang mobil harus pelan, maka tingkat perubahannya jelas bukan konstan akan tetapi variabel.

Misalnya perjalanan dari kota A ke kota B memakan waktu 5 jam, untuk memperoleh rata-rata tingkat perjalanan variabel perjam, banyaknya jarak yang ditempuh dalam km per jam dirata-ratakan. Hal ini di sebabkan karena dari jam ke jam kecepatan mobil tidaklah sama, kadang-kadang cepat dan kadang-kadang lambat, jadi diperoleh 5 angka yang berbeda, menunjukan jarak yang ditempuh setiap jam, lima angka ini dijumlahkan kemudian dibagi lima. Jelas ada tingkat perjalan lainnya yang menjadi kepentingan baik oleh polisi lalulintas maupun soper kendaraan tersebut, yaitu tingkat perjalanan seketika atau pada saat waktu tertentu.

Walaupun tingkat perubahan mungkin mudah dimengerti apabila dikaitkan dengan gerakan fisik, hal ini dapat digenralisir bagi setiap jenis hubungan fungsional. Sebagai contoh misalnya, jumlah biaya merupakan fungsi dari jumlah barang yang diprodusir dan biasanya berubah pada suatu tingkat variabel ketika jumlah produk berubah. Tingkat perubahan jumlah biaya yang terjadi disebabkan karena perubahan jumlah peroduk yang diprodusir disebut biaya marginal dan merupakan turunan pertama dari fungsi jumlah biaya. Biaya marjinal merupakan fungsi dari jumlah produk yang diprodusir dan bisa dihitung pada setiap jumlah produk pada setiap saat tertentu.

Turunan pertama yang merupakan tingkat perubahan suatu fungsi, dapat digunakan untuk menentukan titik maksimum dan minimum kalau ada. Suatu fungsi meningkat sampai mencapai suatu maximum kemudian menurun sampai mencapai suatu minimum kemudian menaik lagi. Metode dasar ini untuk menentukan maksimal dan minimal suatu fungsi dengan diferensiasi talah dikembangkan dan dibuat generalisasi untuk digunakan di dalam persoalan dengan berbagai kompeksitas dan merupakan dasar dari pada metode programma matematis.

Kalkulus berkenaan dengan perubahan yang sangat kecil terjadi pada variabel bebas x dan tak bebas y. Secara matematis, perubahan semacam itu didefinisikan dengan menggunakan konsep limit dan kontinyuitas yang merupakan dasar dari pada teori kalkulus.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.

Referensi :