Rumus Teoreme Dasar Kalkulus

Mengapa dalam matematika banyak teorema ?

Teorema adalah senjata untuk melawan musuh-musuh, yang artinya musuh tersebut dalam matematika adalah soal. Bisa soal yang dibuat secara rekayasa ataupun bisa juga soal atau masalah yang terjadi secara spontan atau nyata. Jadi intinya teorema itu dibuat untuk memecahkan masalah-masalah yang dihadapi.

Rumus teorema dasar kalkulus :

Jika f kontiniu dan mempunyai anti-turunan F pada (a,b), maka :

^b∫_a f(x)dx = f(b) - F(a)

Catatan :

Teorema ini mengaitkan integral tak tentu dengan integral tentu.
Notasi F(x)|^a_b bisa digunakan untuk menyatakan F(b) - F(a).

Bukti Teorema Dasar Kalkulus I

Misalkan f kontinu dan mempunyai anti-turunan F pada [a,b]. Maka, f terintegrasikan pada [a,b], dan untuk setiap partisi a = x₀ < x₁ < x₂ < .... < x_n-1 < x_n = b kita mempunyai :

F(b) - (a) = ⁿΣ_i=1 [F(x_i) - F(x_i-1)]

F(b) - (a) = ⁿΣ_i=1 f(t_i)∆x_i

Karena itu ^b∫_a f(x)dx = lim_|p|→0 ⁿΣ_i=1 f(t_i)∆x_i = F(b) - F(a)

Contoh :

Untuk r ≠ -1, fungsi f(x) = x^r kontinu dan mempunyai anti-turunan F(x) = x^r+1 pada [a,b]; jadi :
^b∫_a x^rdx = x^r+1/r+1|^a_b = (b^r+1/r+1) - (a^r+1/r+1)