Belajar Transformasi Bangun Datar

Pergeseran (Translasi)

Pengertian
Pergeseran atau translasi pada bangun datar ialah pergeseran suatu benda dari tempat asalnya yang dalam ilmu matematika digambarkan dalam bidang cartesius.

Untuk ilustrasinya perhatikan gambar berikut :

Nah persegi panjang warna oren adalah hasil pergeseran dari persegi panjang warna hijau.
Nah gmn apakah kalian sudah mengerti ?????

Rumus Pergeseran (Translasi)
Nah dalam ilmu matematika untuk translasi itu biasanya di pergunakan untuk pergeseran tiap titiknya. Maka rumus pergeseran tiap titiknya berlaku sebagai berikut :
A(x,y) →T(^a_b) = A' (x+a, y+b)
Keterangan :
A : titik A
A' : titik A setelah pergesaran
x : titik pada sumbu x
y : titik pada sumbu y
a : banyaknya pergeseran pada sumbu x
b : banyaknya pergeseran pada sumbu y
→T: di trasnlasikan

Contoh
Titik berapa yang merupakan hasil dari pergeseran titik (1,2) digeserkan sebanyak (3,3) ?
Jawab :
x = 1
y = 2
a = 3
b = 3

A(x,y) →T(^a_b) = A' (x+a, y+b)
A(1,2) →T(³₃) = A' (1+3, 2+3)
= A' (4, 5)

Maka hasil pergeseran dari titik (1,2) adalah titik (4,5)

Pencerminan (Refleksi)

Pengertian
Pencerminan (Refleksi) adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan dengan menggunakan sifat bayangan cermim.

Macam - Macam Pencerminan
Ada beberapa macam pencerminan dalam ilmu transformasi bangun datar, yaitu

a. Pencerminan terhadap sumbu x

Dari gambar sebelah kiri, persegi panjang warna abu" merupakan bayangan dari persegi putih terhadap sumbu x.

Rumus pencerminan terhadap sumbu x adalah :
A(x,y) → x = A' (x, -y)
Keterangan :
A : titik A
A' : titik A setelah pencerminan
x : titik pada sumbu x
y : titik pada sumbu y
→ x: pencerminan terhadap sumbu x

Contoh :
titik dari titik (1,4) yang dicerminkan terhadap sumbu x adalah ?
Jawab :
x = 1
y = 4
A(x,y) → x = A' (x,-y)
A(1,4) → x = A' (1,-4)
Maka hasil pencerminan dari titik (1,4) terhadap sumbu x adalah (1,-4) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas.

b. Pencerminan terhadap sumbu y

Dari gambar sebelah kiri, persegi panjang warna abu-abu adalah hasil dari pencerminan persegi panjang warna putih terhadap sumbu y.

Rumus pencerminan terhadap sumbu y adalah :
A(x,y) → y = A' (-x, y)
Keterangan :
A : titik A
A' : titik A setelah pencerminan
x : titik pada sumbu x
y : titik pada sumbu y
→ y: pencerminan terhadap sumbu y
Contoh :
titik dari titik (1,4) yang dicerminkan terhadap sumbu y adalah ?
Jawab :
x = 1
y = 4
A(x,y) → y = A' (-x,y)
A(1,4) → y = A' (-1,4)
Maka hasil pencerminan dari titik (1,4) terhadap sumbu y adalah (-1,4) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas.

c. Pencerminan terhadap sumbu x = h

Dari gambar di samping, persegi panjang warna abu-abu adalah bayangan dari persegi panjang warana putih terhardap garis sumbu x = 1.

Rumus pencerminan terhadap sumbu x = h adalah :
A(x,y) → x : h = A' (x, 2h - y)

Keterangan :
A : titik A
A' : titik A setelah pencerminan
x : titik pada sumbu x
y : titik pada sumbu y
h : bilangan dari sumbu x
→ x : h : pencerminan terhadap sumbu x = h

Contoh :
titik dari titik (1,4) yang dicerminkan terhadap sumbu x = 1 adalah ?
Jawab :
x = 1
y = 4
A(x,y) → x:h = A' (x , 2h - y)
A(1,4) → x:1 = A' (1,2(1)-4)
= A' (1, 2-4 )
= A' (1, -2 )

Maka hasil pencerminan dari titik (1,4) terhadap sumbu x = 1 adalah (1,-2) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas.

d. Pencerminan terhadap sumbu y = k

Dari gambar di samping, persegi warna abu-abu adalah bayang dari pencerminan persegi warna putih terhadap gari y = -1.

Rumus pencerminan terhadap sumbu x = h adalah :
A(x,y) → x : h = A' (2k - x, y)

Keterangan :
A : titik A
A' : titik A setelah pencerminan
x : titik pada sumbu x
y : titik pada sumbu y

k : bilangan dari sumbu y
→ y : k : pencerminan terhadap sumbu y = k

Contoh :
titik dari titik (1,4) yang dicerminkan terhadap sumbu y = -1 adalah ?
Jawab :
x = 1
y = 4
A(x,y) → y:k = A' ( 2k - x , y)
A(1,4) → y:-1 = A'( 2(-1) - 1 , 4)
= A' (-2 - 1, 4 )

= A' (-3, 4 )

Maka hasil pencerminan dari titik (1,4) terhadap sumbu y = -1 adalah (-3,4) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas.

e. Pencerminan terhadap titik pangkal

Dari gambar di samping, persegi panjang warna abu-abu adalah bayangan dari persegi panjang warana putih terhardap titik pangkal (0,0)

Rumus pencerminan terhadap titik pangkal adalah :
A(x,y) → (0,0) = A' (-x, - y)

Keterangan :
A : titik A
A' : titik A setelah pencerminan
x : titik pada sumbu x
y : titik pada sumbu y
→ (0,0) : pencerminan terhadap titik pangkal

Contoh :
titik dari titik (1,4) yang dicerminkan terhadap titik pangkal adalah ?
Jawab :
x = 1
y = 4
A(x,y) → (0,0) = A' (-x, - y)
A(1,4) → (0,0) = A' (-1, - 4)
= A' (-1 , -4 )

= A' (-1 , -4 )

Maka hasil pencerminan dari titik (1,4) terhadap titik pangkal adalah (-1,-4) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas.

f. Pencerminan terhadap garis x = y

Dari gambar di samping, persegi panjang warna abu-abu adalah bayangan dari persegi panjang warana putih terhardap garis y = x

Rumus pencerminan terhadap sumbu y = x adalah :
A(x,y) → y=x = A' (y,x)

Keterangan :
A : titik A
A' : titik A setelah pencerminan
x : titik pada sumbu x
y : titik pada sumbu y
→y=x: pencerminan terahadap garis y = x

Contoh :
titik dari titik (3,8) yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah ?
Jawab :
x = 3
y = 8
A(x,y) → y=x = A' (y,x)
A(3,8) → y=x = A' (8, 3)
Maka hasil pencerminan dari titik (3,8) terhadap garis y = x adalah (8,3) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas.

g. Pencerminan terhadap garis y = -x

Dari gambar di samping, persegi panjang warna abu-abu adalah bayangan dari persegi panjang warana putih terhardap garis y = -x

Rumus pencerminan terhadap sumbu y = x adalah :
A(x,y) → y=-x = A' (-y,-x)

Keterangan :
A : titik A
A' : titik A setelah pencerminan
x : titik pada sumbu x
y : titik pada sumbu y
→y= - x: pencerminan terahadap garis y = -x

Contoh :
titik dari titik (3,8) yang dicerminkan terhadap garis y = -x adalah ?
Jawab :
x = 3
y = 8
A(x,y) → y= -x = A' (-y, -x)
A(3,8) → y= -x = A' (-8, -3)
Maka hasil pencerminan dari titik (3,8) terhadap garis y = x adalah (-8,-3) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas.

h. Pencerminan terhadap titik P(a,b)

Dari gambar di samping, persegi panjang warna abu-abu adalah bayangan dari persegi panjang warana putih terhardap titik P(a,b)

Rumus pencerminan terhadap sumbu y = x adalah :
A(x,y) → P(a,b) = A' (2a-x , 2b-y)

Keterangan :
A : titik A
A' : titik A setelah pencerminan
x : titik pada sumbu x
y : titik pada sumbu y

→P(a,b): pencerminan terahadap titik P(a,b)

Contoh :
titik dari titik (3,8) yang dicerminkan terhadap titik P(11,8) adalah ?
Jawab :
x = 3
y = 8
a = 11
b = 8
A(,y) → P(a,b) = A' (2a-x , 2b-y)
A(x,y) → P(11,9) = A' (2(11)-3 , 2(8)-8)
= A' (22-3 , 16-8)
= A' (19 , 8)

Maka hasil pencerminan dari titik (3,8) terhadap garis y = x adalah (19,8) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas.

Perputaran (Rotasi)

Pengertian
Perputaran atau rotasi dalam ilmu matematika adalah perputaran suatu benda atau peputaran suatu titik dalam bidang cartisius.
Banyak orang yang merasa kesulitan akan materi ini karena materi ini melibatkan sinus dan cosinus. Tapi jangan khawatir saya akan menjelaskan materi ini sesederhana mungkin supaya anda dengan mudah memahaminya.

Namun sebelum kita masuk ke rumus rotasi, kita harus mempelajari apa itu sudut istimewa trigonometri, perhatikan tabel berikut :

Ѳ	sin	cos
0	0	1
30	¹/₂	¹/₂√3
45	¹/₂√2	¹/₂√2
60	¹/₂√3	¹/₂
90	1	0

Dari tabel diatas dengan mudah kita bisa mengetahui sudut istimewa dari sinus dan cosinus.

Kemudian ada satu lagi hal yang harus anda fahami yaitu mengenai posisi tentang kuadran, perhatikan gambar di bawah ini :

daerah kuadran l hinga lV berfungsi untuk menyederhanakan nilai sinus dan cosinus.
Nah sebelum kita ke rumus rotasi kita fahami dulu penggunaan letak kuadran !
contoh :
berapa nilai sin 135o

jawab :
karena 135o berada pada kuadran II maka berlaku sin (180 - Ѳ)
sin 135o = sin (180 - 45)

sin 135o = sin (180 - 45)
maka yang kita ambil bukan hasil kuaranginya akan tetapi nilai tetanya yaitu 45 maka :
sin 135o = sin 45
dan apabila kita lihat pada tabel sudut istimewa trigonometri maka sin 45 adalah ¹/₂√2
gmn kalian sudah faham ?

yu sekarang kita masuk ke rumus !

Rumus Rotasi

suatu rotasi sangat bergantung pada :

- Titik Pusat

- Besar Sudut Rotasi

- Arah Sudut Rotasi

Ada dua jenis rotasi yaitu :

1. Rotasi pada titik pangkal

Rumus :

A(x,y) → (0,0):Ѳ = A'(x cosѲ - y sinѲ , x sinѲ + y cosѲ)

Keterangan :

x : sumbu x

y : sumbu y

Ѳ(teta) : besar sudut putaran

→ (0,0):Ѳ : diputar pada titik pangkal sebesar Ѳ

sin : sinus

cos : cosinus

A : sebuah titik A

A' : sebuah titik hasil perputaran dari titik A sebesar Ѳ

Biar makin faham kita lanjut ke soal ok :)

Contoh :
hasil dari perputaran titik (1,2) dengan titik pusat (0,0) di putar sebesar 360 drajat adalah ????

Jawab :

x = 1

y = 2

Ѳ = 360

A(x,y) → (0,0):Ѳ = A'(x cosѲ - y sinѲ , x sinѲ + y cosѲ)

A(1,2) → (0,0):360o = A'(1 cos360 - 2 sin360, 1 sin360 + 2 cos360)

Kita sederhanakan cosinus dan sinus dengan menggunakan letak kuadran

karena diputar sebanyak 360 drajat maka letak kuadrannya berada pada kuadra IV, dan pasti nilai sinus bernilai (-) dan cosinusnya bernilai (+) dengan (360 – Ѳ)

cos 360o = cos (360- Ѳ)
cos 360o = cos (360- 0)

= cos 0

sin 360o = -sin (360- Ѳ)
sin 360o = -sin (360- 0)

= - sin 0

Nah kita lanjut lagi ke rumus rotasi tadi, maka setelah di sederhanakan sinus dan cosinusnya menjadi A(1,2) → (0,0):360 = A'(1 cos 0 - 2 -sin 0 , 1 -sin 0 + 2 cos 0 )

kemudian sekarang kita lihat ke tabel sudut istimewa trigonometri ,dari tabel di atas bahwa :

cos 0 = 1

- sin 0 = 0
A(1,2) → (0,0):360 = A'(1 cos 0 - 2 -sin 0 , 1 -sin 0 + 2 cos 0 )

A(1,2) → (0,0):360 = A'(1 (1) - 2 (0) , 1 (0) + 2 (1) )

= A'(1 - 0 , 0 + 2 )

= A'(1 , 2 )

maka hasil dari perputarannya adalah A'(1 , 2 ). Jawaban ini terbukti benar karena apabila suatu titik atau benda di putar sebesar 360o akan menghasilkan perubahan posisi pada titik semula.

2. Rotasi dengan titik pusat (a,b)
Rumus :
A(x,y) → (a,b):Ѳ = A'((x-a) cosѲ - (y-b) sinѲ +a , (x-a) sinѲ + (y-b) cosѲ+b)
Keterangan :

x : sumbu x

y : sumbu y

Ѳ(teta) : besar sudut putaran

→ (a,b):Ѳ : diputar pada titik (a,b) sebesar Ѳ

sin : sinus

cos : cosinus

a : titik pusat pada sumbu x
b : titik pusat pada sumbu y
A : sebuah titik A

A' : sebuah titik hasil perputaran dari titik A sebesar Ѳ

Biar makin faham kita lanjut ke soal ok :)
Contoh :
hasil dari perputaran titik (1,2) dengan titik pusat (2,-5) di putar sebesar 180 drajat adalah ????
Jawab :
x = 1
y = 2
a = 2
b = 5
Ѳ = 180

A(x,y) → (a,b):Ѳ = A'((x-a) cosѲ - (y-b) sinѲ+a , (x-a) sinѲ + (y-b) cosѲ+b)
A(1,2) → (2,-5):180 = A'((1-2) cos180 - (2-(-5)) sin180+2 , (1-2) sin180 + (2-(-5)) cosѲ180+(-5))
= A'(-1 cos180 - (7) sin180 + 2 , (-1) sin180 + (7) cosѲ180+ (-5))

Kita sederhanakan cosinus dan sinus dengan menggunakan letak kuadran

karena di putar 180 drajat maka berada pada kuadran II, dan sinus pasti bernilai (+) kemudian cosinusnya bernilai (-) dengan (180 - Ѳ)

cos 180 = - cos (180 - Ѳ )
cos 180 = - cos (180- 0)

= - cos 0

sin 180 = sin (180 - Ѳ)

sin 180 = sin (180 - 0)

= sin 0
Maka rumus rotasi menjadi :
A(1,2) → (2,-5):180 = A'(-1 -cos 0 - (7) sin 0 + 2 , (-1) sin 0 + (7) -cos 0+ (-5))

Kemudian kita lihat lagi ke tabel sudut istimewa trigonometri. Pada tabel tersebut terlihat bahwa :
sin 0 = 0
-cos 0 = -1
Maka menjadi :
A(1,2) → (2,-5):180 = A'(-1 -cos 0 - (7) sin 0 + 2 , (-1) sin 0 + (7) -cos 0+ (-5))

A(1,2) → (2,-5):180 = A'(-1 (-1) - 7 (0) + 2 , -1 (0) + 7 (-1) -5 )

= A'(1 + 2 , 0 -7 -5 )

= A'(3 , -12 )

Maka hasil perputaran titik (1,2) dengan titik pusat (2,-5) di putar 180 drajat adalah (3,-12)

Perkalian (Dilatasi)

Pengertian
Perkalian atau dilatasi ini di artikan sebagai perbesaran bangun datar atau perbesaran titik - titik pada bidang cartesius.

Dari gambar di atas persegi panjang warna abu - abu merupakan hasil dari perbesaran persegi panjang warna putih..
Karena dilatasi ini kita gambarkan dalam bidang cartesius, maka untuk memperbesar gambar atau mengkalikan gambar kita dilatasikan setiap titinya.

Ada dua jenis dilatasi transpormasi bangundatar, yaitu:

1. Dilatasi dengan titik pusat (0,0) atau titik pangkal
Dalam dilatasi ini berlaku rumus :
A(x,y) →D(0,0):k = A' (kx, ky)
Keterangam :
A ; titik A
x : sumbu x
y : sumbu y
k : besarnya pengkalian
→D(0,0):k : dikalikan dengan k dengan titik pusat (0,0)
A' : titik hasil dari pengkalian

Contoh :
Dilatasikan titik (5,5) dengan 2 kali perbesaran dengan titik pusat (0,0)
jawab :
x = 4
y = 4
k = 2
titik pusat (0,0)
maka :
A(x,y) →D(0,0):k = A' (kx, ky)
A(5,5) →D(0,0):2 = A' (2(4), 2(4))
= A' (8, 8)
Untuk membuktikan jawaban ini benar perhatikan kembali gambar bidang cartesius di atas tadi.

2. Dilatasi dengan titik pusat (a,b)
Dalam dilatasi ini berlaku rumus :
A(x,y) →D(a,b):k = A' (k(x-a), k(y-b))
Keterangam :
A ; titik A
x : sumbu x
y : sumbu y
k : besarnya pengkalian
→D(a,b):k : dikalikan dengan k dengan titik pusat (a,b)
A' : titik hasil dari pengkalian
a : titik pusat pada sumbu x
b: titik pusat pada sumbu y

Contoh :
Dilatasikan titik (2,3) dengan 2 kali perbesaran dengan titik pusat (1,2)!
jawab :
x = 2
y = 3
a = 1
b = 2
k = 2
titik pusat (1,2)
maka :
A(x,y) →D(a,b):k = A' (k(x-a), k(y-b))
A(2,3) →D(1,2):2 = A' (2(2-1), 2(3-2))
= A' (2(1), 2(1))
= A' (2, 2)

Nah segini dulu yah postingan dari saya
Untuk menambah pemahaman baca juga artikel tentang :